﻿\documentclass{article}

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[russian]{babel}
\usepackage{fullpage}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{setspace}

\begin{document}
  {\centering\large Вопросы по матанализу за III семестр}
  \begin{enumerate}
  \small
  \setlength{\itemsep}{-0.1em}
    \item Умножение рядов.
    \item Поточечная и равномерная сходимость, свойства равномерной сходимости.
    \item Равномерно сходящиеся ряды \emph{(главные места -- признаки сходимости)}.
    \item Степенные ряды, радиус сходимости.
    \item Ряды Тейлора.
    \item Формула Стирлинга.
    \item Разложение котангенса в сумму простейших. Приём Герглотца \emph{(факт
    $$\frac{1}{\sin{x}}  = \frac{1}{x} + \sum_{n = 1}^{\infty} (-1)^n
    \left(\frac{1}{x + \pi n} + \frac{1}{x - \pi n}\right)$$ доказанным в курсе
    не считается)}.
    \item Эйлеров интеграл.
    \item Равномерная сходимость по параметру.
    \item Перестановка пределов.
    \item Интеграл с параметром -- простейшие свойства.
    \item Дифференцирование по параметру.
    \item Интегрирование по параметру.
    \item Введение множителя, зависящего от параметра.
    \item Несобственные интегралы с параметром. Равномерная сходимость \emph{(и четыре
    признака)}.
    \item Предельный переход по параметру под знаком несобственного интеграла.
    \item Дифференцирование по параметру несобственного интеграла.
    \item Интегрирование по параметру несобственного интеграла.
    \item Бета-функция: основные свойства.
    \item Гамма-функция: основные свойства \emph{(связь с бета-функцией)}
    Интеграл Пуассона.
    \item Формула Эйлера-Гаусса.
    \item Интеграл Раабе.
    \item Формула Лежандра.
    \item Логарифмическая выпуклость гамма-функции \emph{(\textbf{признак} <<если логарифмически
    выпуклая\ldots, то гамма-функция>> не доказывается)}.
    \item Предельное представление гамма-функции.
    \item Метрическое пространство, индуцированная топология.
    \item Теорема Бэра о вложенных шарах.
    \item Теорема Банаха о сжимающем отображении.
    \item Непрерывность \emph{(определение, и два равносильных свойства -- на языке
    окрестностей и на языке открытых множеств)}.
    \item Непрерывный образ компакта и секвенциального компакта.
    \item Ограниченность компакта и секвенциального компакта.
    \item Две теоремы Вейерштрасса и теорема Кантора о равномерной непрерывности.
    \item Банахово пространство -- определение \emph{(рассказать про скалярное
    произведение, неравенство Коши-Буняковского. Приводить все примеры не нужно, но
    нужно уметь в случае чего доказать, что какое-либо пространство Банаха
    действительно таковым является)}.
    \item Линейные операторы в банаховом пространстве и непрерывность
    \emph{(непрерывность, норма, и теорема об изоморфности двух Банаховых
    пространств)}.
    \item Равносильность секвенциальной и топологической компактности, замкнутости и
    ограниченности.
    \item Дифференцируемое отображение. Единственность.
    \item Теорема о композиции дифференцируемых отображений и её следствия.
  \end{enumerate}
\end{document}